Secuencia didáctica: Estadística (Mediana)
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
EDNA LISETH LAVERDE CASTAÑEDA
SECUENCIA DIDÁCTICA MEDIANA
ESPACIO DE FORMACIÓN: DIDÁCTICA DE LA ESTADÍSTICA
- INTRODUCCIÓN
A continuación se mostrará una secuencia didáctica que ha sido pensada para estudiantes de grado 6º, evidenciando una secuencia de actividades con el propósito de enseñar una de las medidas de tendencia central más importantes, la mediana; se podrá observar la implementación de una situación que permitirá realizar desde un análisis exploratorio de datos hasta la organización de estos que permitan llegar a los estudiantes a un aprendizaje significativo sobre la mediana.
- OBJETIVO
Diseñar una secuencia de actividades que permita adquirir a los estudiantes de 6º grado un aprendizaje significativo sobre la mediana, como medida de tendencia central útil en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Ø Fomentar el desarrollo del análisis exploratorio de datos que permita la recolección de estos teniendo en cuenta una situación planteada.
Ø Promover el pensamiento estadístico por medio del análisis de una situación llamativa para los estudiantes.
Ø Suscitar en los estudiantes la idea de estadística como un área fundamental en la resolución de situaciones de la vida cotidiana.
- JUSTIFICACIÓN
La estadística ha sido una de las áreas escolares menos trabajadas, ya que durante todo el proceso escolar un estudiante conoce muy poco de estadística, sin embargo las instituciones educativas han intentado presentar un poco más de esta a sus estudiantes mediante la implementación de situaciones agradables para ellos como el azar[1], mientras que otros contenidos se han mostrado con muy poca frecuencia como son las medidas de tendencia central. Por esta razón se ha pensado en una secuencia que además de ser agradable para los estudiantes les permita crear un aprendizaje mucho más específico proporcionándoles herramientas básicas para la creación de dicho aprendizaje.
- MARCO TEÓRICO
Desde la antigüedad podemos observar el proceso que tuvo la estadística y específicamente la mediana para ser lo que es en la actualidad, considerando la importancia que tuvo la estadística en la historia, comenzando por las diferentes culturas de la antigüedad como los son los egipcios, los babilonios, los judíos y romanos que utilizaban la estadística para realizar los censos de la población y la estadística de la muerte y natalidad de las personas. En la antigüedad podemos observar que las medidas de tendencia central no tuvieron un valor importante, puesto que los censos se podían realizar sin mayor dificultad por la cantidad de personas que tenían las diferentes culturas, además debemos tener en cuenta que estos censos tenían márgenes de error muy altos.
A través del tiempo vemos como la forma de ver la estadística se sale de las manos de la humanidad, puesto que esta se encuentra en constante crecimiento y cada vez se hace más difícil utilizar las herramientas que eran comunes anteriormente; es por esto que las medidas de tendencia central van adquiriendo fuerza, puesto que la necesidad se encuentra en la forma de organización de datos; ya que las diferentes culturas empezaban a necesitar otras cosas diferentes al número de personas, las medidas de tendencia central entran a jugar un papel importante en los trueques y en la captación de las necesidades del pueblo en general.
La estadística poco a poco va difundiéndose y creciendo hasta convertirse en una ciencia que abarca muchos aspectos, uno de ellos, la estadística descriptiva que busca reducir las necesidades de la sociedad creando sistemas de organización de datos para que sea más fácil su comparación.
La mediana entró a jugar un papel importante en el sentido que cada vez la sociedad iba necesitando una herramienta más efectiva para organizar sus estadísticas, la mediana es el resultado de la necesidad del pueblo por los pocos alcances que tenían otras medidas de tendencia central como es la moda y la media para algunos aspectos, ya que la mediana presenta las siguientes características:
1. No se ve afectado por los valores extremos. (Así tengamos un valor muy grande o muy pequeño la mediana siempre será la misma, aspecto que no sucede con la media, por ser una medida que encuentra un promedio).
2. No está definida algebraicamente.
3. La mediana en caso de una distribución asimétrica, no resulta desplazado del punto de tendencia central. (Ya que este punto siempre la partirá en partes iguales).
4. Si el universo tiene curtosis excesiva la mediana como estadística, varía menos que cualquier otra medida. (Teniendo en cuenta que la curtosis divide los datos en dos partes pero no como la mediana que los divide exactamente en la mitad, la curtosis los divide en cualquier porcentaje, por esto la mediana es la medida que menos varia). [2]
5. Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con clases abiertas. (Puesto que no necesito saber exactamente el valor de todos los datos sino el número de estos, por tanto la mediana sirve para ello).[3]
Cada medida de tendencia central sirvió y sirve a la sociedad para suplir alguna necesidad, por ello la importancia de cada una de estas, sin embargo realizamos el estudio específico de la mediana por ser nuestro objeto a analizar.
La mediana es una medida de tendencia central que además de las características presentadas sirve para calcular un punto en un conjunto de datos que caracterice dos grupos en este, uno por debajo y otro por encima de dicho punto, esta medida, se puede calcular para datos agrupados y no agrupados como lo mostramos a continuación:
Mediana para datos no agrupados
Para los datos no agrupados tenemos en cuenta que el número de datos sea par o impar. A partir de ello tenemos en cuenta lo siguiente:
Cuando es impar: Cuando es par:
Donde x es la posición de cada dato y n es el número total de datos.
Para los datos agrupados, es decir que se encuentran en intervalos por ser su número de datos muy grande:
Utilizamos:
Donde:
L: Límite inferior de la clase mediana
N: Frecuencia total o
Fa: Frecuencia absoluta acumulada hasta la clase premediana
Fi: frecuencia absoluta de la clase mediana
C: Amplitud de la clase mediana
Antes de utilizar dicha fórmula debemos encontrar la clase mediana (Que es el intervalo) que será la que contenga el dato N/2 o la que se aproxime por encima de esta, encontrando la clase mediana decimos que el limite inferior de esta es el menor dato del intervalo, N será la cantidad de datos o la frecuencia total; Fa será la frecuencia acumulada (es decir la cantidad de datos hasta dicho intervalo) hasta la clase antes de la mediana, es decir la premediana; Fi será la frecuencia de la clase mediana (Es decir el dato que se encuentra en dicho intervalo); y C será la amplitud de la clase mediana (Es decir la resta entre el limite inferior y superior del intervalo). Cuando tengamos estos datos claros podemos pasar a reemplazarlos en la fórmula dada, de esta manera encontraremos la mediana de dichos datos.
La enseñanza de la mediana ha sido muy tradicional en la escuela, puesto que las situaciones propuestas no van más allá de la propuesta de una serie de datos a los estudiantes para que ellos hallen la media por medio de fórmulas, pero no se ha puesto al estudiante por medio de situaciones didácticas a que vea la necesidad de intervenir con la mediana, por ello no ha sido un aprendizaje fuerte en la escuela.
Moore (1992), nos propone los contenidos básicos que se deben tener en cuenta para la enseñanza de la estadística:
· La organización y el resumen de los datos, que incluye las herramientas y las estrategias para saber leerlas y comunicar lo encontrado.
· La producción de los datos, que incluye todos los pasos del diseño de una investigación.
· La obtención de conclusiones, que abarca fundamentalmente inferencia estadística.
Teniendo en cuenta estos requerimientos del aprendizaje de los estudiantes, se deben proporcionar herramientas al estudiante para que los pueda desarrollar, estas herramientas se deben dar con las situaciones propuestas en el aula, por esta razón se deben tener en cuenta los siguientes pasos que deberían seguir los estudiantes para alcanzar los propósitos mencionados anteriormente:
Ø En un primer momento se debe presentar la situación al estudiante para que la intenten desarrollar bien sea individual o en pequeños grupos, en este momento los estudiantes deben establecer claramente lo que se propone e intentar establecer la población requerida para la resolución de la situación.
Ø En un segundo momento la docente debe ser la orientadora de los estudiantes para aclarar algunos aspectos pertinentes como lo es la elaboración de un plan para la recolección de los datos necesarios, sin ser la docente la que hace el trabajo.
Ø Para el tercer momento, la elaboración del plan debe ponerse en marcha y se deben recoger los datos necesarios, así como se debe hacer un primer análisis de lo que se encuentra, argumentando como se puede solucionar la situación problema.
Ø Para finalizar se debe realizar un cuarto momento donde con ayuda del docente se hace una síntesis de lo que se establece frente a la situación planteada, además de una reflexión que el docente hace donde establece los conocimientos a los que llegó el grupo y los que se pretendía enseñar. Para este momento el docente establece el conocimiento que se quería impartir y hace la conexión con algunos conocimientos previos y otros que quiere trabajar en el futuro.[4]
De igual forma debemos considerar los requerimientos de la educación Colombiana para la mediana, en los estándares básicos de matemáticas para los grados 6º (Que es el grado sobre el que vamos a trabajar) y 7º proponen que se evalúe sobre el siguiente estándar:
Ø Utilizo medidas de tendencia central (media, mediana y moda) para interpretar cómo se comporta un conjunto de datos.
Como podemos darnos cuenta, la mediana no es un concepto que se trabaje de forma específica en la escuela, sino viene inmerso en muchos contenidos que se suponen crean un pensamiento estadístico en los estudiantes, este es uno de los motivos de la implementación de la situación que presentaremos a continuación.
- SITUACIÓN PROBLEMA
En el colegio se esta mirando la posibilidad de implementar una ruta escolar para grado 6º, el problema es que este bus solo hace una parada durante todo su recorrido. ¿Cómo podemos garantizar que el bus les sirva a todos los estudiantes? ¿Cuál seria la parada más conveniente?
- ACTIVIDADES
ACTIVIDAD DE ACCIÓN
OBJETIVO GENERAL: Promover la participación de los estudiantes en la formulación y diseño de un plan de ejecución donde den cuenta como recogerán datos y que podrán hacer con ellos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Ø Incitar a los estudiantes para que desarrollen una simulación de la ejecución del plan para que observen de que manera pueden desarrollar la situación problema.
Ø Estimular a los estudiantes para que hagan un primer acercamiento del problema mediante algunas preguntas orientadoras.
METODOLOGÍA
Teniendo en cuenta que la sesión dura 45 minutos la actividad estará dividida en 3 momentos como se puede ver a continuación:
Primer momento: 10 minutos
Se realizará la presentación de la situación problema estableciendo la población con la que se cuenta y respondiendo dudas iniciales que los estudiantes tengan.
Segundo momento: 20 minutos
Los estudiantes se reunirán en grupos de 2 o 3 personas y establecerán un plan para tomar los datos y analizarlos con el objetivo de encontrar la mejor parada que puede hacer el bus escolar. La docente pasará por cada puesto y realizara preguntas tales como ¿Cómo podemos saber el recorrido que cada uno realiza hasta el lugar donde viven? ¿Cómo podemos compararlo con otros compañeros? Con esto los estudiantes realizaran una simulación con los datos que tienen en el grupo e intentaran ver como se puede establecer la mejor parada.
Tercer momento: 15 minutos
Los estudiantes expondrán sus planes de ejecución al grupo en general y entre todos con ayuda del docente llegaran a que el mejor plan es que cada uno mida con tiempo o distancia el lugar donde vive. A partir de esto los alumnos se comprometerán a traer los datos para la próxima sesión.
ROLES
Estudiante:
Ø Establecer una primera hipótesis de la forma en que se podría solucionar la situación problema.
Ø Realizar un plan que les permita recoger los datos necesarios para la situación.
Profesor:
Ø Orientar a los estudiantes sobre los criterios que podrían tener en cuenta para hacer la recolección de datos.
Ø Recoger las propuestas de los estudiantes para establecer el plan que deben seguir para dicha recolección.
Ø Hacer la presentación de la actividad respondiendo las dudas que los estudiantes presenten frente a esta.
ORGANIZACIÓN DEL AULA Y RECURSOS
Ø Los estudiantes se encontraran en grupos en un primer momento realizando el plan de ejecución para la recolección de datos; para la socialización que se realizará en el tercer momento los estudiantes se encontraran de forma individual.
Ø Los recursos para esta sesión serán discursivos, puesto que los estudiantes estarán en discusión tanto con su grupo específico como con el grupo en general.
ACTIVIDAD DE FORMULACIÓN
OBJETIVO GENERAL: Incentivar a los estudiantes para que comuniquen y analicen los datos tomados en datos agrupados y no agrupados acerca de los diferentes tiempos que se toman los alumnos del colegio al lugar donde viven.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Ø Comunicar a los estudiantes la totalidad de los datos recogidos.
Ø Orientar a los estudiantes para que establezcan hipótesis de cómo organizar los datos para solucionar la situación problema.
Ø Guiar a los estudiantes para que establezcan una forma más sencilla de organizar los datos, mediante preguntas orientadoras.
METODOLOGÍA
Ya que la sesión dura 45 minutos tomaremos 2 sesiones para cumplir nuestros objetivos, teniendo en cuenta que en la primera sesión trataremos lo que tiene que ver con datos no agrupados y en la segunda sesión con datos agrupados:
SESIÓN 1
Primer momento: 15 minutos
Teniendo en cuenta que todos los estudiantes trajeron sus datos, el docente tomará cada uno de estos y los escribirá en el tablero, los estudiantes también escribirán estos datos en sus cuadernos y observarán que hay diferencias muy notables en estos tiempos, pues no todas las personas viven en distancias iguales del colegio y de seguro se encontrarán datos muy pequeños y otros muy grandes.
Segundo momento: 15 minutos
Con los datos, los estudiantes establecerán diferentes formas en que se pueden organizar los datos, el docente pasará por los puestos de los estudiantes y los orientara según las dudas que presenten.
Tercer momento: 15 minutos
El docente junto con los estudiantes establecerán las diferentes formas que los estudiantes encontraron para organizar los datos y analizara con los estudiantes cuál podría ser la más conveniente para la situación problema, teniendo en cuenta que se tiene que establecer el sitio más conveniente para todos (incluyendo los que viven muy cerca, y los que viven muy lejos).
ROLES
Estudiante:
Ø Comunicar y escribir los datos de todos los estudiantes frente al tiempo que hay entre el colegio y la casa de cada estudiante.
Ø Escribir y comunicar diferentes formas de organizar los datos que establecieron.
Ø Analizar y participar sobre la forma más conveniente de organizar los datos para la solución de la situación problema.
Profesor:
Ø Organizar los datos de los estudiantes para ellos los puedan tomar de forma correcta.
Ø Orientar a los estudiantes para que encuentren diferentes formas de organizar los datos y posteriormente encuentren la más conveniente.
ORGANIZACIÓN DEL AULA Y RECURSOS
Ø Los estudiantes se encontrarán de forma individual en los 2 primeros momentos, en el tercer momento por ser de socialización no se trabajará de forma individual sino participativa a nivel grupal.
Ø Los recursos para esta sesión serán los datos tomados de todos los estudiantes, con estos se trabajará durante toda la sesión.
SESIÓN 2
Primer momento: 20 minutos
Los estudiantes se organizarán en grupos pequeños y establecerán una forma más sencilla de organizar los datos, la docente pasará por cada grupo y los orientará con preguntas tales como: ¿Cómo pueden reducir la cantidad de datos? ¿Pueden organizar los datos en grupos?
Segundo momento: 25 minutos
Junto con el docente, los estudiantes llegarán a un acuerdo sobre los intervalos que establecerán con los datos recogidos. Así mismo la docente los escribirá en el tablero y establecerá con los estudiantes la frecuencia absoluta de cada dato y la frecuencia acumulada.
ROLES
Estudiante:
Ø Los estudiantes pensarán en formas de organizar los datos de una manera más sencilla que reduzca la información en grupos o intervalos.
Ø Los estudiantes participarán en la construcción de los intervalos que establecerán con el grupo en general.
Profesor:
Ø El docente guiara a los estudiantes con preguntas orientadoras hacia la construcción de los intervalos.
Ø El docente orientará al grupo para que establezcan los respetivos intervalos, así como la frecuencia absoluta y acumulada.
Ø
ORGANIZACIÓN DEL AULA Y RECURSOS
Ø Los estudiantes se organizarán en pequeños grupos y posteriormente estarán en participación con el grupo en general.
Ø El recurso principal serán los datos recogidos y posteriormente los intervalos construidos
ACTIVIDAD DE VALIDACIÓN
OBJETIVO GENERAL: Incitar al estudiante para que realice un análisis sobre cómo resolver la situación problema a partir de los datos agrupados y no agrupados.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Ø Inducir a los estudiantes para que establezcan con los datos recogidos la resolución del problema planteado.
Ø Orientar a los estudiantes para que establezcan posiciones a cada dato (datos no agrupados) y tomen el de la mitad para decir que es el más conveniente para que el bus pare, mediante algunas preguntas orientadoras.
Ø Guiar a los estudiantes para que encuentren la clase mediana teniendo en cuenta los datos agrupados.
METODOLOGÍA
Primer momento: 10 minutos
Cada estudiante analizara los datos para establecer el dato más conveniente, guiados por el docente que hará preguntas como ¿Qué dato dejaría satisfecho a todos los estudiantes, incluso al que vive más lejos y al que vive más cerca?
Segundo momento: 10 minutos
Los estudiantes establecerán hipótesis de cómo encontrar la clase que de igual manera deje satisfechos a todos los estudiantes, el docente los orientará con las siguientes preguntas: ¿Teniendo en cuenta la frecuencia acumulada cuál es el dato que es la mitad de todos? ¿Cómo lo podrías relacionar con el intervalo?
Tercer momento: 15 minutos
Los estudiantes intentarán encontrar una fórmula que los lleve a encontrar el mismo dato que encontraron de forma experimental.
Cuarto momento: 15 minutos
Se realizará una socialización donde se tendrán en cuenta todas las propuestas y se desarrollará con ayuda de los estudiantes la validación de estas, dándole solución al problema por parte de la situación con datos no agrupados. Así mismo se establecerán con los estudiantes el concepto y aplicación de límite inferior del intervalo. Los estudiantes pensarán en una fórmula que pueda dar solución a la situación por medio de intervalos.
ROLES:
Estudiante:
Ø El estudiante realizará análisis que le permitan establecer una solución al problema propuesto.
Ø El estudiante analizara frente a la búsqueda de formulas que permitan realizar el proceso de forma más rápida.
Ø El estudiante participará de forma activa en la socialización dando a conocer sus propuestas frente al grupo y el docente.
Profesor:
Ø El docente orientará al estudiante para que encuentre el dato más conveniente en los datos agrupados y no agrupados.
Ø Dirigir la socialización estableciendo la solución de la situación planteada para datos agrupados.
ORGANIZACIÓN DEL AULA Y RECURSOS
Ø Los estudiantes se organizarán de forma individual
Ø El recurso serán los datos recogidos no agrupados y en intervalos
ACTIVIDAD DE INSTITUCIONALIZACIÓN
OBJETIVO GENERAL: proporcionar herramientas básicas al estudiante sobre mediana, por medio del establecimiento de conclusiones generales sobre la situación establecida.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Ø Realizar conclusiones generales y especificas sobre el trabajo desarrollado
Ø Proveer al estudiante conceptos sobre mediana en contextos de datos agrupados y no agrupados
Ø Establecer la solución de la situación problema planteado
METODOLOGÍA
La clase no se dividirá puesto que estará a cargo exclusivamente de la docente. En este momento la docente iniciara mostrando el proceso realizado por los estudiantes y realizara una comparación de lo anterior con lo que se pretendía enseñar, posteriormente establecerá algunos conceptos sobre la mediana para datos agrupados y no agrupados, dando paso a la resolución de la situación problema que ha sido encontrada experimentalmente por los estudiantes.
ROLES
ESTUDIANTE:
Ø Formular preguntas cuando sea necesario si hay alguna duda sobre el trabajo que la docente esta realizando
Ø Escuchar atentamente y participar activamente cuando sea necesario
PROFESOR:
Ø Dar a conocer a los estudiantes conceptos sobre la mediana teniendo en cuenta datos agrupados y no agrupados.
Ø Establecer conclusiones generales sobre el trabajo realizado por lo estudiantes y sobre el que se pretendía trabajar, haciendo énfasis en la resolución del problema.
ORGANIZACIÓN DEL AULA Y RECURSOS
Ø Los estudiantes se encontrarán atentos y de forma individual.
Ø El recurso principal para esta clase serán los procedimientos realizados por los estudiantes, pues sobre estos se basarla el docente para realizar la institucionalización.
BIBLIOGRAFÍA
Kreyszig E “introducción a la estadística matemática”, México 1987
Ministerio de educación. Estándares básicos de matemáticas.
Pedro rocha salamanca. “Educación estocástica. Didáctica de la probabilidad y la estadística” Grupo investigación crisálida. Proyecto: educación y didáctica de la estocástica. Universidad Distrital
Terán Teresa, “Algunos presupuestos teóricos en el diseño de una unidad curricular en estadística”, Facultad de Ciencias Económicas y Estadística – U.N.R.
[1] Comparar, Terán Teresa, “Algunos presupuestos teóricos en el diseño de una unidad curricular en estadística”, Facultad de Ciencias Económicas y Estadística – U.N.R.
[2] Comparar en, Kreyszig E “introducción a la estadística matemática”, México 1987
[3] Comparar en, León Gudberto, “Apuntes de métodos estadísticos I”, Universidad de los Andes – Escuela de Estadística. Mérida -Venezuela
[4] Comparar, Terán Teresa, “Algunos presupuestos teóricos en el diseño de una unidad curricular en estadística”, Facultad de Ciencias Económicas y Estadística – U.N.R.
